デスクトップアプリケーションではアカウントのパスワードでpush/pull出来なくなったとのが原因です。
github側の対応
二段回認証の設定を済ませていない場合は「Settings」→「Account security」から済ませておきます。
「Settings」→「Developer settings」→「Personal access tokens」からアクセストークンを作成します。”Select scopes”は”repo”だけ選択すればリポジトリ操作が出来るようです。表示されたトークンはメモしておきます。
Mac側の対応
Launchpadを起動して検索ウィンドウにkeyと入れるとキーチェーンアプリが表示されるのでクリックして起動し、検索ウィンドウにgitと入力されて表示された認証情報を削除します。
SourceTreeのアカウント設定で、認証方法がOAUTHとSSHになっている場合は、 BasicとSSHに変更しておきます。（アカウント設定は空欄でも問題ないとの情報あり）
適当なリポジトリでpush/pullするとパスワードを聞かれるので、メモしておいたトークンを入力すればOKです。
追記
何故か上記でも上手くいかず、調べたところ、SourceTreeのリポジトリのリモート設定で、パスにアクセストークンを含めるとpush出来ました。
https://アクセストークン@github.com/ユーザー名/リポジトリ名.git編集時は、ダブルスラッシュの後にアクセストークンをペーストして@を付けるだけです。
cloneする時も同様のパスにするらしいのですが、私の環境ではそれをしなくともcloneは出来ておりました。
SourceTreeでAccessTokenを作ってGithubに接続できない | OCテックノート
SourceTree Ver 3.3 実は半年ぐらい、下記のエラーが出て git -c diff.mnemonicprefix=false -c core.quotepath=false --no-optional-locks fetch ...
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